一、数值编码方式详解
1.1 原码（Sign-Magnitude）
- 定义：用最高位表示符号（0 正，1 负），其余位表示绝对值。
- 例子（8 位）：
+5：0000 0101-5：1000 0101
- 特点：
- 优点：直观，适合人类阅读。
- 缺点：
- 0 有两种表示（
+0和-0）。 - 加减运算复杂（需判断符号位）。
- 0 有两种表示（
1.2 反码（Ones' Complement）
- 定义：
- 正数：与原码相同。
- 负数：符号位保持 1，其他位按位取反。
- 例子（8 位）：
+5：0000 0101-5：1111 1010
- 特点：
- 优点：减法可通过加法完成（需处理循环进位）。
- 缺点：仍需处理双 0 问题。
1.3 补码（Two's Complement）
- 定义：
- 正数：与原码相同。
- 负数：反码加 1。
- 例子（8 位）：
+5：0000 0101-5：1111 1011
- 特点：
- 优点：
- 0 唯一表示（
0000 0000）。 - 加减法统一（无需处理符号位）。
- 0 唯一表示（
- 表示范围：
-2^{n-1}到2^{n-1}-1（n 为位数）。 例如：8 位补码范围为-128 ~ +127。
- 优点：
1.4 移码（Excess-K）
- 定义：用于浮点数指数部分的编码方式，公式为
移码 = 真值 + K（固定偏移 K=2^{n-1}）。 - 例子（8 位，K=128）：
0→1000 0000-128→0000 0000+127→1111 1111
- 特点：
- 优点：指数范围对称，方便比较大小。
1.5 编码转换关系
| 真值 | 原码 | 反码 | 补码 | 移码（K=128） |
|---|---|---|---|---|
| +5 | 0000 0101 | 0000 0101 | 0000 0101 | 1000 0101 |
| -5 | 1000 0101 | 1111 1010 | 1111 1011 | 0111 1011 |
二、逻辑门与电路组成
2.1 基本逻辑门
(1) 与门（AND Gate）
- 函数式：
Y = A·B - 真值表：
A | B | Y 0 | 0 | 0 0 | 1 | 0 1 | 0 | 0 1 | 1 | 1 - 电路符号：
A ----|& |---- Y B ----|______|
(2) 或门（OR Gate）
- 函数式：
Y = A+B - 真值表：
A | B | Y 0 | 0 | 0 0 | 1 | 1 1 | 0 | 1 1 | 1 | 1 - 电路符号：
A ----|>=1 |---- Y B ----|______|
(3) 非门（NOT Gate）
- 函数式：
Y = A' - 真值表：
A | Y 0 | 1 1 | 0 - 电路符号：
A ----|>o |---- Y
(4) 异或门（XOR Gate）
- 函数式：
Y = A⊕B = A·B' + A'·B - 真值表：
A | B | Y 0 | 0 | 0 0 | 1 | 1 1 | 0 | 1 1 | 1 | 0 - 电路符号：
A ----|=1 |---- Y B ----|______|
(5) 与非门（NAND Gate）
- 函数式：
Y = (A·B)' - 电路符号：
A ----|& |----o Y B ----|______|
2.2 组合逻辑电路
(1) 半加器（Half Adder）
- 功能：计算 1 位加法（无进位输入）。
- 输入：
A（加数）、B（被加数）。 - 输出：
Sum（和）、Carry（进位）。 - 电路实现：
Sum = A⊕BCarry = A·B
(2) 全加器（Full Adder）
- 功能：计算 1 位加法（考虑进位输入）。
- 输入：
A，B，Cin（进位输入）。 - 输出：
Sum，Cout（进位输出）。 - 电路实现：
Sum = A⊕B⊕CinCout = (A·B) + (A·Cin) + (B·Cin)
(3) 4 位行波进位加法器
- 组成：4 个全加器串联。
- 原理： 每位全加器的
Cout连接到下一位的Cin。 - 缺点： 进位延迟高，速度慢。
(4) 超前进位加法器（CLA）
- 原理： 通过并行计算所有进位位，减少延迟。
- 公式：
C1 = A0·B0 + (A0⊕B0)·C0 C2 = A1·B1 + (A1⊕B1)·C1 ...
2.3 乘法器与除法器
(1) 乘法器
- 实现：通过重复加法与移位。
- Booth 算法：
- 用于补码乘法，减少运算步骤。
- 规则：根据相邻位的差值（0→0，0→1，1→0，1→1）决定加减操作。
(2) 除法器
- 恢复余数法： 反复试探减去除数，若结果负则恢复余数。
- 不恢复余数法（Goldschmidt 算法）： 通过调整余数直接计算商。
三、定点数（Fixed-Point Number）
3.1 定义与编码
(1) 纯小数定点数
- 格式：最高位为符号位，剩余为小数位。
- 例子（8 位）：
0.1011→0 1011000（假设后 4 位补零）。 - 范围：
−(1−2^{-(n−1)})到+(1−2^{-(n−1)})（n 位表示）。
(2) 整数定点数
- 格式：最高位为符号位，剩余为整数位。
- 例子（8 位）：
+5→0000 0101，-5→
四、浮点数（Floating-Point Number）
4.1 浮点数的基本结构
浮点数通过 科学计数法 表示数值，分为三部分：
- 符号位（S）：1 位，0 表示正，1 表示负。
- 指数（E）：移码表示的整数，常用偏移量为
2^(k-1)-1（如单精度 k=8，偏移量 127）。 - 尾数（M）：隐含一个前导 1 的二进制小数（规格化形式）。
4.2 IEEE 754 标准详解
(1) 单精度浮点数（32 位）
- 结构：
S (1位) | E (8位) | M (23位) - 指数偏移量：127（
E_true = E_stored - 127）。 - 尾数：实际值为
1.M（隐含前导 1）。 - 范围：
- 最大正数：
≈±3.4×10^38 - 最小正数（规格化）：
≈±1.2×10^-38
- 最大正数：
(2) 双精度浮点数（64 位）
- 结构：
S (1位) | E (11位) | M (52位) - 指数偏移量：1023（
E_true = E_stored - 1023）。 - 范围：
- 最大正数：
≈±1.8×10^308 - 最小正数（规格化）：
≈±2.2×10^-308
- 最大正数：
4.3 浮点数的特殊表示
(1) 规约数（Normalized Numbers）
- 条件：指数场不全为 0 且不全为 1。
- 尾数：隐含前导 1，实际值为
1.M。 - 计算公式：math
Value = (-1)^S × (1.M_2) × 2^{(E-偏移量)}
(2) 非规约数（Denormalized Numbers）
- 条件：指数场全为 0。
- 尾数：无隐含前导 1，实际值为
0.M。 - 计算公式：math
Value = (-1)^S × (0.M_2) × 2^{(1-偏移量)} - 用途：填补接近 0 的数值区间，避免突然下溢为 0。
(3) 特殊值
- 无穷大（Infinity）：
- 指数全 1，尾数全 0。表示溢出结果（如
1.0/0.0）。
- 指数全 1，尾数全 0。表示溢出结果（如
- NaN（Not a Number）：
- 指数全 1，尾数非 0。表示无效运算（如
√-1或0/0）。
- 指数全 1，尾数非 0。表示无效运算（如
4.4 浮点数的计算流程（以加法为例）
对阶：调整小阶数向大阶数对齐。
- 例如：
1.011×2^3 + 1.110×2^1 → 1.011×2^3 + 0.0111×2^3
- 例如：
尾数相加：对阶后的尾数直接相加。
- 结果：
1.011 + 0.0111 = 1.1101 → 1.1101×2^3
- 结果：
规格化：
- 若结果溢出（如
10.110×2^3），右移尾数并调整指数。 - 若结果不足（如
0.1110×2^3），左移尾数并减小指数。
- 若结果溢出（如
舍入处理：根据模式（向最近、向零等）调整尾数。
判断溢出：检查最终指数是否超出范围。
4.5 浮点数的精度问题
- 舍入误差：尾数位数有限导致的精度丢失。
- 例如：
0.1在二进制中无限循环，转换为浮点数将产生误差。
- 例如：
- 大数吃小数：在加法中，两个数量级差异过大的数相加时，小数可能被忽略。